Prozent- und Zinsrechnung

Anteile gibt man oft in Prozent an. Die Prozentangabe bedeutet :

$$0,2=\frac{20}{100}=20\:\%$$

Wieviel Liter Fett $W$ sind in $G=1\:l$ Milch?

$$W=G\cdot p=1\:l \cdot 3,5\:\%=0,035\:l$$

Die 35 ml bezeichnet man als absoluten Anteil oder Wert $W$, die 3,5 % als relativen Anteil oder Prozentsatz $p$.

Bei vielen Nahrungsmitteln ist der Prozentsatz $p$ angegeben, bei anderen wiederum der absolute Wert $W$. Um nun den Prozentsatz $p$ zu berechnen benötigen wir den Grundwert $G$:

$$p = \frac{35}{1000}=0,035=3,5\:\%$$ $$p = \frac{W}{G}$$

Ein Paar Schuhe wird mit 60 EUR bworben. Der Nachlass auf den ursprünglichen Wert beträgt 40 Prozent. Wie viel hat das Paar Schuhe ursprünglich gekostet?

$$G = \frac{60}{40\:\%}=150\:\text{EUR}$$ $$G = \frac{W}{p}$$

Auf eine Lampe wird 20 % Rabatt gewährleistet. Wie hoch ist der Nachlass.

Üblich sind $\alpha \leq 10\:\%$ oder bei der Warenkontrolle $\alpha \leq 5\:\%$. Aber bei medizinischen Kontrollen oder auch in der Kommunikationstechnik ist man durchaus bei Werten von $\alpha \leq 1\:\%$.

Beim Testen von Hyphotesen, testet man diejenige, bei welcher man davon ausgehen kann, dass sie verworfen wird. Damit gilt die Annahme mit der Wahrscheinlichkeit $\alpha$ oder $\beta$ als widerlegt.

Normalerweise gehen wir davon aus, dass der Münzwurf ein LAPLACE-Experiment ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für Zahl 50 % beträgt. Dies stellen wir als Hypothese auf. Die Gegenhypothese wäre $p \neq 0,5$.

Der Erwartungswert bei einem $n=100$stufigen Experiment beträgt $\mu = 50$. Wir bestimmen die kritischen Werte so, dass der äußere Wahrscheinlichkeitsbereich max. 10 % beträgt.

$$P_{0,5}(42\leq X \leq 58)=91,1\:\%$$

Dies bedeutet: Falls $X<42$ oder $X>58$ wird die Hypothese $p=0,5$ verworfen.

Die Streuung der Binomialverteilung um den Erwartungswert $\mu$ ist abhängig vom Stichprobenumfang $n$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Die Varianz $V(X)$ der Zufallsvariable X bezeichnet die zu erwartende mittlere quadratishe Abweichung vom Erwartungswert $\mu$:
$V(x)=(0-\mu)^2 \cdot P(X=0) +$$ \ldots + (n-\mu)^2 \cdot P(X=n)$

Die Standardabweichung $\sigma$ ist ein Maß für die Streuung der Binomialverteilung um den Erwartungswert $\mu$.

$$\sigma=\sqrt{V(X)}$$

Wahrschein­lichkeiten von Sigma-Umgebungen ...

$P(X=0)=0,512$
$P(X=1)=0,384$
$P(X=2)=0,096$
$P(X=3)=0,008$

Der Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsvariable $X$ berechnet sich zu:

$$E(X)=\mu=n \cdot p$$