Quadratische Glei­chungen

Quadratische Gleichungen haben allgemein die Form: $ax^2+bx+c=0$.

Ist $b=0$ spricht man von einer rein quadratischen Gleichungen.

Rein quadratische Gleichungen lassen sich einfach durch das Ziehen der Wurzel berechnen.

Ist der Wert unter der Wurzel positiv hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen, ist der Wert Null, hat sie eine Lösung und ist der Wert negativ hat sie keine Lösung.

Ist $c=0$ kann man ein $x$ ausklammern und erhält zwei Faktoren. Hier lassen sich die Lösungen dann ganz einfach mit dem sogenannten "Satz vom Nullprodukt" finden.

Ist ein Faktor in einem Produkt Null ist das gesamte Produkt Null.

Hinweis: Dieser Satz lässt sich auch anwenden, wenn die Gleichung in faktorisierter Form, wie $(x-3)(x-5)=0$, gegeben ist. In diesem Fall ist $x_1=3$ und $x_2=5$.

Allgemein kann eine quadratische Glei­chung mit der sogenannten quadra­ti­schen Ergänzung gelöst werden. Hierzu wird der linke Teil der Gleichung zu einer binomischen Formel ergänzt. Zuerst teilt man die Gleichung durch $a$, so dass der Faktor vor dem $x^2$ eins wird. Nun addiert man $(b/2)^2$ und schon hat man eine leicht lösbare binomische Formel.

Mit etwas Übung ist dieses Verfahren sehr schnell und schult unsere mathematischen Fähigkeiten da es die binomischen Formeln mit den quadratischen Gleichungen verknüpft.

Verallgemeinert man das Verfahren der quadratischen Ergänzung mit Variablen, dann erhält man die sogenannte pq-Formel. Auch hier teilt man die Gleichung durch $a$, so dass der Faktor vor dem $x^2$ eins wird. Nun lautet die allgemeine quadratische Gleichung: $x^2+px+q=0$.

Lösung mit der pq-Formel:

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

Verallgemeinert man das Verfahren der quadratischen Ergänzung mit Variablen, ohne vorher durch $a$ zu teilen, dann erhält man die sogenannte abc-Formel. Mit der allgemeinen quadratischen Gleichung: $ax^2+bx+c=0$ erhält man als Lösung:

$$x_{1,2}=-\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Man beachte: Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder keine Lösung haben. Dies hängt immer vom Wert unter der Wurzel ab.