mylime - Mathe

1 Ein umstrittener Aufschlag

Olympia 2012:
Ein umstrittenen Aufschlag beim Beachvolleyballfinale sorgt für Aufregung. Der Aufschlag von Olympiasieger Julius Brink und Jonas Rettermann soll angeblich im Aus gewesen sein. Computeranalysen ergaben im Bereich $-8 \leq x \leq 8$ eine Funktion f mit

$$f(x)=-\frac{1}{50}x^2-\frac{4}{25}x+\frac{64}{25}$$

War der Ball tatsächlich im Aus?

|enaktiv

2 Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ heißt quadratische Funktion. Das Schaubild der Funktion heißt Parabel.

Schnittpunkte mit der x-Achse:
$\begin{align} &\Leftrightarrow f(x)=0 \\ &\Leftrightarrow -\frac{1}{50}x^2-\frac{4}{25}x+\frac{64}{25} = 0\\ &\Leftrightarrow x^2+8x-128 = 0\\ &\Leftrightarrow x_1=8 \lor x_2 = -16 \Rightarrow N(8|0) \end{align}$

Der Ball geht auf die Linie. Aber wie knapp geht der Ball über das Netz?

3 Schnittpunkt mit der y-Achse

Die Schnittpunkte mit der x-Achse heißen Nullstellen, der Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet man durch Einsetzen von $x=0$ in den Funktionsterm.
$f(0)=-\frac{1}{50}\cdot 0 -\frac{4}{25} \cdot 0 +\frac{64}{25} = \frac{64}{25}$

$\Rightarrow S_y(0|2,56) \Rightarrow$ Der Ball geht 8 cm übers Netz.

Merke: Der Schnittpunkt mit der y-Achse der quadratischen Funktion mit $f(x)=ax^2+bx+c$ ist an der Stelle $y=c$.

4 Scheitelpunkt der Parabel

Der Extrempunkt (höchste oder tiefste Punkt) der Parabel wird als Scheitelpunkt $SP\left( x_{SP}|f(x_{SP})\right)$ bezeichnet. Er berechnet sich zu:

$$x_{SP}=-\frac{b}{2a}=-4$$

Alternativ erhalten wir ihn über Symmetrieüberlegungen: der Scheitelpunkt liegt zwischen den Nullstellen $x_{N1}$ und $x_{N1}$. $x_{SP}=\frac{x_{N1}+x_{N2}}{2}=\frac{8+(-16)}{2}=-4$

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir durch einsetzen:
$f(-4)=2,88 \Rightarrow SP(-4|2,88)$
Der Ball wird max. 40 cm über Netzhöhe gespielt.

5 Die Brücke über den Sambesi

Genau unterhalb der Viktoriafälle wurde eine Eisenbahnbrücke errichtet, die heute zum Bungeejumping verwendet wird. Der parabelförmige Bogen hat eine Spannweite von 160 m und eine Höhe von 25 m

Hierfür wollen wir den Bogen konstruieren. Bei der Konstruktion kann man drei Dinge bestimmen: Die Form der Parabel, die Verschiebung in y-Richtung und die Verschiebung in x-Richtung.

6 Form und Lage einer Parabel

Der Parameter $a$ bestimmt die Form der Parabel: $f(x)=ax^2$
Dabei gilt: $a>0 \Leftrightarrow$ nach oben geöffnet, $a<0\Leftrightarrow$ nach unten geöffnet, $a=1 \Leftrightarrow$ Normalparabel.

Verschiebung in y-Richtung: $f(x)=ax^2+c$
Dabei gilt: $c>0 \Leftrightarrow$ nach oben, $c<0\Leftrightarrow$ nach unten.

Verschiebung in x-Richtung: $f(x)=a(x-d)^2$
Dabei gilt: $d>0 \Leftrightarrow$ nach rechts, $d<0\Leftrightarrow$ nach links.

Geht man von einer Ursprungsparabel aus, hat diese einen Punkt an der Stelle P(80|-25). Setzt man diesen in $f(x)=ax^2$ ein, erhält man $a=-1/256$.

7 Die Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform der quadratische Funktion lautet:

$$f(x)=a(x-x_{SP})^2+y_{SP}$$

Berechnet man durch Einsetzen eines Punktes in $f(x)=ax^2$ den Formfaktor $a$ und hat den Scheitelpunkt gegeben erhält man sofort den Funktionsterm. In unserem Beispiel mit $a=-1/256$ und dem Scheitelpunkt $SP(80|25)$:

$$f(x)=-\frac{1}{256}(x-80)^2+25$$

In dem Video wird der Weg von der Normalform zur Scheitelpunktform erklärt.

8 Gegenseitige Lage zweier Parabeln

Gegeben sind $f(x)=-0,25x^2+1$ und $g(x)=0,25x^2-1$.

Bedingung für Schnittpunkte: $f(x)=g(x)$
$\begin{align} &\Leftrightarrow -0,25x^2+1=0,25x^2-1 \\ &\Leftrightarrow 0,5x^2 = 2\\ &\Leftrightarrow x_1=-2 \lor x_2 = 2\\ \end{align}$

Einsetzen in $f(x)$ liefert den zugehörigen y-Wert. Hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung (Verschieben um 2 nach rechts) gibt es einen Berührpunkt und hat sie keine Lösung (Verschieben um 1 nach unten) berühren sich die Parabeln nicht.

Aufgabe 1 Schnittpunkte mit den Achsen

Bestimme die Schnittpunkte der Parabeln mit den Achsen.

$f(x)=-0,5x^2+2x$
$f(x)=\frac{1}{8}(4x^2-4x+1)$
$f(x)=4x^2+4x+2$

$f(x)=-(x-2)(x-3)$
$f(x)=-3(x-2)^2+3$

$N_{x1}(-4|0)$, $N_{x1}(0|0)$, $N_y(0|0)$
$N_x(0,5|0)$, $N_y(0|\frac{1}{8})$
kein Schnittpunkt mit der x-Achse, $N_y(0|2)$
$N_{x1}(2|0)$, $N_{x2}(3|0)$, $N_y(0|-6)$
$N_{x1}(1|0)$, $N_{x2}(3|0)$, $N_y(0|-9)$

Aufgabe 2 quadratischer Anstieg

Bei konstanter Beschleunigung mit $a=10\:\frac{m}{s^2}$ steigt die Strecke $s(t)=0,5at^2$ quadratisch.

Zeit in s	0	1	2	5	10
Strecke in m	0	5

Vervollständige die Tabelle.
Trage die Werte in ein Zeit-Strecke-Diagramm.
Bestimme die Funktionsgleichung, falls zu Beginn bereits eine Strecke von 5 m zurückgelegt wurde.
Bestimme die Funktionsgleichung, falls der Start 2 s verspätet beginnt. Definiere den Definitionsbereich.

Tabelle:

Zeit in s	0	1	2	5	10
Strecke in m	0	5	20	125	500

Zeit-Strecke-Diagramm:
Funktionsgleichung: $s(t)=0,5at^2+5$
Funktionsgleichung: $s(t)=0,5a(t-2)^2$, Definitionsbereich: $D: t \in \mathbb{R}^+$

Aufgabe 3 Nullstellen und Scheitelpunkt der Parabel

Bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen, den Scheitelpunkt und zeichne die Parabel. Verwende, wenn sinnvoll, eine alternative Berechnungsmethode.

$f(x)=3x^2-6x+2$
$f(x)=x^2-1$
$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-4)$

$f(x)=0,5(x-4)^2+2$
$f(x)=-x(x+3)$

1. Schnittpunkte mit den Achsen:
$N_{x1}(0.42|0)$, $N_{x1}(1,58|0)$, $N_y(0|2)$

2. Scheitelpunkt: $SP(1|-1)$

3. Schaubild:
1. Schnittpunkte mit den Achsen:
$N_{x1}(-1|0)$, $N_{x1}(1|0)$, $N_y(0|-1)$

2. Scheitelpunkt: $SP(0|-1)$

3. Schaubild:
1. Schnittpunkte mit den Achsen:
$N_{x1}(1|0)$, $N_{x1}(4|0)$, $N_y(0|2)$

2. Scheitelpunkt: $SP(2,5|-9/8)$

3. Schaubild:

1. Schnittpunkte mit den Achsen:
$N_{x1}(2|0)$, $N_{x1}(6|0)$, $N_y(0|6)$

2. Scheitelpunkt: $SP(4|-2)$

3. Schaubild:
1. Schnittpunkte mit den Achsen:
$N_{x1}(-3|0)$, $N_{x1}(0|0)$, $N_y(0|0)$

2. Scheitelpunkt: $SP(-1,5|2,25)$

3. Schaubild:

Aufgabe 4 Der Fußballabstoß

Autoren: J. Blum, D. Supper | DFU und binnendifferenziert

Die Flugbahn eines Balles ist parabelförmig. Dies kann man bei einem Torabstoß, einem Golfschlag oder einer Kanonenkugel beobachten. Außeneinflüsse wie Wind und Anschneiden des Balles bleiben unberücksichtigt.

Im Folgenden soll die Flugbahn eines Balles auf dem Sportplatz analysiert werden. Vom Punkt O(0|0) wird der Ball abgeschlagen. Auf der x-Achse wird die Flugweite des Balles, auf der y-Achse die Flughöhe abgetragen.

Beschreibe die allgemeine Bahngleichung unter Berücksichtigung des Abschlagpunktes.

Begründe, wieso in der allgemeinen Bahngleichung $f(x)=ax^2+bx+c$, der Parameter $a$ negativ ist und $c=0$ ist.
Nach 30 m horizontaler Weite kommt der Ball wieder auf den Boden. Nach 6 m hat er eine Höhe von 7,20 m über dem Boden.

Bestimme zuerst zwei weitere Punkte des Graphen. Setze diese Punkte in den Funktionsterm ein und erstelle ein LGS mit 2 Lösungen. Durch lösen des LGS erhältst du die Parameter der Bahngleichung.
Bestimme die maximale Höhe, die der Ball erreicht. Gib die zugehörige horizontale Weite an.

Die maximale Höhe erreicht der Ball im Scheitelpunkt. Die horizontale Weite ist der x-Wert.
Bestimme die horizontale Weite, bei welcher der Ball 8,80 m hoch ist. Gibt es vielleicht sogar mehr als einen?

Ein Vogel gleitet geradlinig über den Sportplatz auf der Suche nach Futter. Beim Startpunkt hat er eine Höhe von 12 m und bei 30 m horizontaler Weite ist er noch halb so hoch.

Bestimme den Funktionsterm der Vogelflugbahn.

Die Vogelflugbahn ist eine Gerade. Lies die Punkte aus dem Text und setzte sie in eine allgemeine Geradengleichung ein. Löse das lineare Gleichungssystem (LGS).
Begründe weshalb der Vogel vom Ball getroffen werden kann und berechne die Schnittpunkte.
Berechne die horizontale Weite zwischen den beiden Punkten.
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks, welches aus den Nullstellen und den beiden Schnittpunkten gebildet wird.

Allgemeine Bahngleichung: $f(x)=ax2+bx$. Dabei ist der Parameter $a$ negativ, da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Parameter $c=0$, da die Parabel die y-Achse an der Stelle $y=0$ schneidet.
Bahngleichung: $f(x)=-0,05x^2+1,5x$
Die maximale Höhe wird im Scheitelpunkt der Parabel erreicht: $SP(15|11,25)$. Der Ball erreicht nach 15 m horizontaler Weite seine maximale Höhe mit 11,25 m.
Löse die Gleichung: $8,8=-0,05x^2+1,5x$
Geradengleichung: $g(x)=-0,2x+12$
Der Vogel kann vom Ball getroffen werden, wenn er die Flugbahn kreuzt. Dies tut er zweimal, denn es ergeben sich zwei Schnittpunkte mit der Geradengleichung: $A(10|10)$, B(24|7,2).
Die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten beträgt 14 m.
Das Trapez hat einen Flächeninhalt von 192 m².

Aufgabe 5 proportionale und quadratische Zuordnungen

Gib Beispiele aus der Praxis an, in denen die Zuordnung proportional bzw. quadratisch ist.

Proportionale Zuordnungen:

Die doppelte Menge an Hühnern, legen die doppelte Menge Eier. (Sylvia)
Wenn man 2 Windräder besitzt, hat man doppelt so viel Energie und benötigt 2mal so viel Material. (Bennet)
...

Quadratische Zuordnungen:

1 Pferd zieht 100 kg, 2 Pferde ziehen 400 kg.
Läuft ein Ventilator doppelt so schnell benötigt er die 4fache Menge an Energie.
...

Proportionale Zuordnungen:

Die doppelte Menge an Hühnern, legen die doppelte Menge Eier. (Sylvia)
Wenn man 2 Windräder besitzt, hat man doppelt so viel Energie und benötigt 2mal so viel Material. (Bennet)

Quadratische Zuordnungen:

1 Pferd zieht 100 kg, 2 Pferde ziehen 400 kg.
Läuft ein Ventilator doppelt so schnell benötigt er die 4fache Menge an Energie.

Aufgabe 6 Wortschatzarbeit

"BYO Industry"
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Kettenspiel: Einer beginnt und erklärt der Klasse den ersten Begriff. Dann wählt er einen neuen Begriff und gibt das Wort an den nächsten weiter.

Aufgabe 7 Die Golden Gate Bridge - Konstruktion einer Hängebrücke

Autoren: D. Supper, J. Blum | DFU und binnendifferenziert

Die Golden Gate Bridge ist eine Hängebrücke und führt über eine Bucht bei San Francisco in den USA. Der mittlere Abschnitt hat eine Weite von etwa 1200 m. Das Stahlseil ist auf einer Höhe von 250 m über dem Meer befestigt und die Fahrbahn liegt 75 m über dem Meer.

Bestimme den Formfaktor a des Funktionsterms $f(x)=ax^2$.

Verschiebe die Parabel mit dem Scheitelpunkt SP auf den Ursprung. Bestimme nun wie weit du in x- und y-Richtung gehen musst, um auf den Aufhängepunkt zu kommen. Bestimme nun den Formfaktor, indem du diesen Punkt in die Gleichung $f(x)=ax^2$ einsetzt.
Bestimme den exakten Funktionsterm $f(x)$ des Stahlseils im mittleren Brückenabschnitt.

Setze den Formfaktor und Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform $f(x)=a\left(x-x_{SP}\right)^2+y_{SP}$ein.
Bestimme den Funktionsterm g(x) der Fahrbahn.
Beschreibe zu welchem Punkt auf der Parabel f die Gerade g eine Tangente ist.

Tangenten haben immer einen Berührpunkt.

P(1200/2|250-75): $a=\frac{175}{600^2}=\frac{7}{14400}$
Stahlseil: $f(x)=\frac{7}{14400}(x-600)^2+75$
Fahrbahn: $g(x)=75$
Die Gerade g ist eine Tangente im Scheitelpunkt SP(600|75) der Parabel f.

Wortliste und Satzbausteine

die quadratische Funktion, -n	eine Funktion mit der Form: $f(x) = ax^2 + bx + c$, mit $a$ ungleich Null
die Parabel, -n	Schaubild der quadratischen Funktion
die Nullstelle, -n	Schnittpunkt mit der x-Achse
der Scheitelpunkt einer Parabel	der höchste oder tiefste Punkt der Parabel

die Scheitelpunktform	ein Funktionsterm $f(x)=a(x-d)^2+e$ aus der man den Scheitelpunkt $SP(d\|e)$ der Parabel direkt ablesen kann.
der Schnittpunkt zweier Parabeln	Gemeinsamer Punkt von Parabel 1 und Parabel 2

Quadratische Funktionen