Exponentialfunktion

Eine Virusepidemie breitet sich aus:
Am Tag 0 wird ein Patient verzeichnet, am Tag 1 zwei Patienten, am Tag 2 vier Patienten und so verdoppelt sich die Anzahl der Patienten jeden Tag.

Spielt den Vorgang im Klassenzimmer durch. Wie lange dauert es, bis alle Schüler erkrankt sind?

Ein solcher Verlauf wird mit der Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ dargestellt. Erkranken durchschnittlich täglich die 1,5fache Menge an Personen haben wir $f(x)=1,5^x$ und so weiter.

|enaktiv

Die Funktion $f(x)=a^x$ heißt Exponentialfunktion, da $x$ im Exponenten steht. Halbiert sich der Funktionswert täglich gilt $f(x)=0,5^x$, mit $g(x)=2^x$ verdoppelt er sich.

Die Exponentialfunktion $f(x)=a^x+b$ wird durch den Faktor $b$ in y-Richtung verschoben.

Die Exponentialfunktion $f(x)=a^{x-d}$ wird durch den Faktor $d$ in x-Richtung verschoben.

Möchte man die Funktion $g(x)=2^x$ zur y-Achse spiegeln berechnet man:

$$h(x)=g(-x)=2^{-x}$$

Für die Spiegelung an der x-Achse gilt:

$$f(x)=-g(x)=-2^{x}$$

Mit dem Parameter $k$ der Funktion $f(x)=k\cdot a^x+b$, wird die Funktion gestaucht oder gestreckt. $b$ gibt die Lage der Asymptote an und $k+b$ den y-Achsenabschnitt.

Radioaktives Jod besitzt eine Halbwertszeit von etwa 8 Tagen. Das bedeutet bspw. bei einer Anfangsdosis $k=10$ mg sind nach dieser Zeit nur noch die Hälfte vorhanden. Dieser Zerfall wird allgemein mit der Gleichung $f(x)=k\cdot a^x$ beschrieben, wobei $x$ die Zeit in Tagen angibt.

Zur Bestimmung des Parameters $a$ nutzen wir die angegebenen Werte und schreiben mit $5=10 \cdot a^8$. Lösen dieser Gleichung liefert $a=\sqrt[8]{0,5}=0,917$. Damit folgt der Funktionsterm für den radioaktiven Zerfall:

Gegeben sind $f(x)=2^x=e^{ln(2) \cdot x}$ und $g(x)=e^{ln(2) \cdot x} - 2$.

Während das Schaubild $f$ keine Nullstelle hat, erhalten wir die Nullstelle für $g$ durch lösen von $g(x)=0$:
$\begin{align} &\Leftrightarrow e^{ln(2)x}-2=0 \: |+2\\ &\Leftrightarrow e^{ln(2)x} = 2 \: |ln(..)\\ &\Leftrightarrow ln(2)x = ln(2) \: |:ln(2)\\ &\Leftrightarrow x=1 \\ \end{align}$

Berechnen von $g(0)=-1$ liefert den Schnittpunkt mit der y-Achse.